viernes, 23 de julio de 2010

domingo, 18 de julio de 2010

TASAS DE INTERÉS

En todos los problemas de interés compuesto vistos hasta el momento, coincidía el período de capitalización con el tiempo en que estaba expresada la tasa de interés. Por ejemplo si la tasa de interés era anual, el período de capitalización era el año, si la tasa de interés era trimestral, mensual, etc., la capitalización también era trimestral, mensual, etc.. Este tipo de capitalización, en la cual coincide el período de capitalización con el tiempo en que está expresada la tasa de interés, recibe el nombre de capitalización periódica y la tasa de interés i recibe el nombre de tasa nominal.
A partir de ahora, veremos otra forma de capitalizar los intereses llamada capitalización subperiódica y que se presenta en los casos en que hay más de una capitalización en cada periodo de tiempo indicado para la tasa. Por ejemplo, puede tenerse una tasa de interés anual, capitalizada por semestres; una tasa trimestral capitalizada mensualmente, etc..
En la capitalización subperiódica suelen utilizarse dos tasas de interés diferentes: una, llamada tasa proporcional y otra llamada tasa equivalente.

TASA PROPORCIONAL En la capitalización subperiódica, se dice que se utiliza la tasa proporcional de interés cuando en cada subperíodo se toma una tasa igual a la nominal dividida por el número de subperíodos. Por ejemplo, si tenemos una tasa anual del 24% que se capitaliza trimestralmente, la tasa proporcional trimestral es del 6% (en un año hay 4 trimestres por lo tanto la tasa proporcional trimestral se obtiene dividiendo 24 entre 4). Si indicamos con m a la cantidad de subperíodos, resulta que la tasa proporcional es, por definición, i/m . Por lo tanto la fórmula del monto a interés compuesto, cuando existe capitalización subperiódica con tasa proporcional, es la siguiente: M=C(1+i/m)mn .
Ejemplo: A)Calcular el monto que produce un capital de $1000 en un año al 12% anual de interés compuesto. B) Calcular el monto si capitaliza semestralmente con tasa proporcional.
A) M=1000.(1+0,12)1=1120 B)M=1000(1+0,06)2=1123,60
Tal como puede verse en el ejemplo, el monto que se obtiene con la capitalización subperiódica a tasa proporcional es mayor que el monto que se obtiene capitalizando una sola vez en el período con la tasa nominal. Ello se debe a la incidencia de los intereses en cada subperíodo de tiempo, ya que el monto de un subperíodo cualquiera tiene por capital al valor inicial de la operación más los intereses de los subperíodos anteriores.

Ejercicio: Calcular el monto que produce un capital de $10000 colocado al 12% anual durante 8 años que capitaliza A) semestralmente B) trimestralmente C) bimestralmente.
($25403,52) ($25750,82) ($25870,70)
Como se puede observar, los montos son cada vez mayores a medida que disminuye la duración del periodo de capitalización.


TASA EFECTIVA Como se pudo observar si se capitaliza en forma subperiódica con tasa proporcional, el monto que se obtiene al final del plazo de colocación del capital es mayor que el monto que se obtiene con la tasa nominal periódica durante ese mismo plazo. Si deseamos capitalizar periódicamente y obtener un monto igual al que se obtiene con la tasa proporcional, tendremos que utilizar una tasa de interés periódica que resulta ser algo mayor que la nominal i. Esta tasa de interés, que capitalizada una sola vez en el periodo nos da un monto igual al que se obtiene capitalizando subperiódicamente con la tasa proporcional a la nominal, recibe el nombre de tasa efectiva.
Ejemplo: Calcular el monto de $1 en 1 año al 6% anual capitalizando anualmente y capitalizando semestralmente con tasa proporcional.
-Capitalizando anualmente: M=1.(1+0,06)1 =1,06
-Capitalizando semestralmente: M=1.(1+0,03)2 =1,0609
De acuerdo con el ejemplo, si se desea capitalizar una sola vez en el año, pero obteniendo el mismo monto que al capitalizar semestralmente, deberá usarse una tasa de interés algo mayor al 6%. Esa tasa, anual, recibe el nombre de tasa efectiva, y es aquella que capitalizada una sola vez en el año nos da un monto de $1,0609.
Si indicamos con i’ a la tasa de interés efectiva, dado que el monto que la misma produce es igual al obtenido con la tasa nominal capitalizada proporcionalmente en forma subperiódica, resulta: C(1+i’)n = C(1+i/m)mn Suponiendo que C=$1 y que n=1 periodo, queda 1+i’=(1+i/m)m , por lo tanto si se quiere calcular el valor de i’ se obtiene la siguiente relación: i’=(1+i/m)m-1
Ejercicio: Calcular la tasa efectiva correspondiente a la nominal del 12% anual capitalizable por trimestres. (12,55%)

TASA EQUIVALENTE Si se capitaliza subperiódicamente con tasa proporcional, se obtiene un monto mayor que capitalizando periódicamente con tasa nominal; entonces, si se desea capitalizar supberiódicamente y obtener un monto igual que el producido por la tasa nominal periódica, es lógico que deba usarse una tasa subperiódica menor que la proporcional. Esa nueva tasa de interés recibe el nombre de tasa equivalente. O sea, la capitalización subperiódica se realiza con la tasa equivalente cuando en cada subperíodo se utiliza una tasa de interés tal que, al finalizar el plazo de colocación del capital, produce un monto igual que si se capitaliza periódicamente con la tasa nominal durante ese mismo plazo.
Si indicamos con i(m) a la tasa equivalente, será por definición: C(1+i(m))mn=C(1+i)n. Suponiendo que C=$1 y n=1 período resulta (1+i(m))m=1+i. Si se desea calcular la tasa equivalente resulta

Ejercicio: Calcular la tasa que capitalizando subperiódicamente (siendo el subperíodo el trimestre), permite obtener un monto igual que si se capitaliza al 8% anual. (1,94%)

COMPARACIÓN ENTRE LAS DISTINTAS TASAS
Tasa nominal. Calcular el monto que corresponde a un capital de $10000 que se depositó durante 12 años al 7% anual.
Tasa proporcional. Calcular el monto que corresponde a un capital de $10000 que se depositó durante 12 años al 7% anual capitalizable trimestralmente.
Tasa Equivalente. Calcular el monto que corresponde a un capital de $10000 sabiendo que se depositó durante 12 años al 7% anual capitalizable trimestralmente con tasa equivalente.

Como se puede observar el monto producido por la tasa proporcional es mayor que el producido por la tasa nominal periódica, en cambio, el monto producido por la tasa equivalente fue igual al obtenido mediante el empleo de la tasa nominal.

En los problemas de capitalización subperiódica, cuando no se hace mención al tipo de tasa que se utiliza, se entiende que es la tasa proporcional.



Ejercicios

EJERCICIO DE TASA NOMINAL

1.- ¿A que tasa nominal convertible trimestralmente, un capital de $30000.00 crecerá a $100,000.00 en cinco años?

M = C (1 + i)n

100000 / 30000 = (1 + i)n

Pero (1 + i)n = (1 + j/m)mn

Donde n = 5 años, y n = 4

Así, (1 + j/4)20 = 100000 / 30000

(1 + j/4) = (3.333333)1/20

j = 4{(3.333333)1/20 - 1)}

j = 4(1.062048 – 1)

j = 0.24819

Se requiere una tasa nominal de 24.82% convertible trimestralmente para que un capital de $3,000.00 se convierta en un monto de $10,000.00 en un plazo de 5 años.

EJERCICIO TASA EFECTIVA:

1.- ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $1000.00, pactado a 18% de interés anual convertible mensualmente?

M = 1000 (1+0.015)12

M = 1000(1.195618)

M = 1195.62ç

I = M – C

I = 1195.62 – 1000

I = 195.62

i = I / C

i = 195.62 / 1000

i = 0.1956

La tasa efectiva de interés ganada es de 19.56%

La tasa equivalente a una tasa anual de 18% convertible mensualmente es de 19.56% convertible anualmente.

La relación entre ambas tasa puede verse como sigue: sea i la tasa efectiva de interés, j la tasa de interés nominal, y m el número de periodos de capitalización al año.

Se ha estableció que ambas tasas son equivalentes si producen el mismo interés al cabo de un año.

Por lo tanto C (1 + i) = C(1 + j/m)m

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre C, tenemos:

(1 + i) =(1 + j/m)m

i =(1 + j/m)m - 1

Retomado el ejemplo anterior:

i = (1 + 0.18 / 12)12 – 1

i = (1 + 0.015)12 – 1

i = (1.195618) – 1

i = 0.195618

i = 19.56 %

Calcular el monto de $10,000.00 prestados al 8% de interés anual,

Durante 9 años capitalizables semestralmente.

Datos: Formula:

na*m

M = ? M = C(1+j/m)

C = $10,000.00

j = 8% Sustitución:

9*2

m = 12 meses/año M =$10,000(1+ 0.08/2)

18

na = 9 años M = $10,000(1.04)

M = $10,000(2.025)

M = $20,250.00

Ejercicios de Interes compuesto

Formulas de Interés Compuesto:
n
M = C (1 + i)
C = M (1 + i)-n

M = monto o también llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempo
Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.
i = 0,15 efectiva trimestral n = 10 años M = 20.000 C =?
C = 20.000 (1+ 0.15)-10(4)
C =4.586,75

¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en %7.500?

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Hallar el Monto o valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:
a. al 5% efectivo anual


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¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?

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¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?
Hacemos los calculos suponiendo que el capital es 1 por lo tanto el monto al duplicar es 2
M =2
C = 1
2=1(1+ i) 10
i = 7,17% sociedad maderera
Hacemos el calculo para la cuenta de ahorro partiendo de C=1
M = 1(1+0,06)
M =1,8140 no duplico
Respuesta es más conveniente la sociedad maderera
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Se colocan $15000 en un banco que paga el 12% semestral de interés. Calcular la suma que se retirará al cabo de dos años.

Hay cuatro periodos de capitalizacion, en doaños si el 12% es semeestral entronces es 2% mensual
M= 15000(1+(2*6)100)**4 => 23602

Ejercicios resueltos de Interes Simple

1. Problemas de Interés Simple
Formulas de Interés Simple
I = C * t * i
Monto =C (1 + i * t)
C =Monto (1 + i * t)-1
Monto = C + I al monto también se le llama valor final VF
I = interés; M = Monto; C = Capital; i = tasa.
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Calcular el interés simple comercial de:
$2.500 durante 8 meses al 8%.
C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08


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$60.000 durante 63 días al 9%.

I =$60.000 t =63 días i =0,09

I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945
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$12.000 durante 3 meses al 8½ %.
C =12.000 t =3 meses i =0,085
I =12.000 * 3 * 0.085= $ 255

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$15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. Del mismo año.

C =$15.000 i =0,10 t =167 días

I =15.000 * 0.10 * 167=$ 695,83

Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresa de en meses por lo que debe transformarse el tiempo también a meses
$8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual.
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Calcular el interés simple comercial de:

$5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual.
C = 5.000 i = 0,0075 t =116 meses

3años *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses + (20dias * 1 mes)= 116 meses

1 año 30 días

I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450

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Calcular el interés simple comercial de $3200 durante 4 años al 6% mensual

C= 3200 t =4 años = 12 * 4 = 48 meses i= 0,06 => I=3200*48*0,06=9216



Ejercicios de porcentaje
1)El 54% de los 1250 alumnos de un colegio están matriculados en educación Secundaria. ¿Cuántos de ellos no son de Secundaria?

2)Un tajamar que se utiliza para reserva de agua de animales de campo pierde agua de su total de un 1.300.000 de litros hasta quedar en el 70% de su capacidad total en enero y en febrero solo tiene el 50%. ¿Cuántos litros perdió de enero a febrero?